El joven Gauss y el polígono regular de 17 lados

Lectura de verano

El sorprendente encuentro entre la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la cabeza de un joven de 18 años. Entonces no había discotecas...

 Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda, más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás.

Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica. 

    Justo un mes antes de cumplir los 19 años.

Puedes disfrutar de un paseo veraniego por esta fascinante historia de las matemáticas aquí:   http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/decabeza/58decabeza.pdf

Construcción del polígono regular de 17 lados
Método de Gauss(1796), simplificada por H.W. Richmond (1893)

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AA ́ y VV ́

2. Se obtiene un punto B, sobre el radio OA, tal que el segmento OB es la cuarta parte de OA

3. Se obtiene el punto C, sobre OV, tal que el ángulo OBC es la cuarta parte del ángulo OBV ( hay que bisecar dos veces un ángulo)

4. Se obtiene un punto D, sobre el diámetro VV ́, tal que el ángulo DBV sea de 45º ( se puede hacer bisecando un ángulo recto)

5. Se obtiene G, mitad del segmento DV, se dibuja la circunferencia con centro G y radio GV. Esta circunferencia corta al radio OA en el punto E.

6. Se dibuja la circunferencia con centro C y radio CE, dicha circunferencia corta a VV ́ en dos puntos: F y G

7. Se levantan perpendiculares a VV ́, pasando por F y G , que cortan a la circunferencia en V3 y V5.

8. La mitad del arco V3V5, nos da un punto T. El segmento V 3T es el lado del polígono regular de 17 lados.

El enigma de los lados del triángulo

Los triángulos no dejan de sorprendernos.
Ocultan misterios en apariencia simples pero también se empeñan a veces en hacer trivial lo complejo.

Este no es el caso de hoy. Os lo muestro

En una circunferencia de radio 4, dividimos su diámetro en 4 partes iguales mediante los puntos B y C.
Por el punto C trazamos una cuerda que forma con el diámetro un ángulo de 43º.
Formamos un triángulo cuyos vértices son los extremos de la cuerda y el punto B.
Y...¡sorpresa! ¿Cuánto suman... los cuadrados de los lados del triángulo?

No vale utilizar trigonometría. ¡Pura geometría euclídea!

Un triángulo peculiar

Para los que se han examinado de selectividad y para los que no, también.

Pues sí. Presumía de no ser un triángulo cualquiera.
Tenía una peculiaridad que la hacía único. Tenía que ver con las medidas de sus ángulos.
Mejor aún, con los valores de las tangentes de sus ángulos.
 Y poniendo una voz engolada lo explicaba a todo el que quisiera escuchar y a muchos que no querían:

" La suma de las tangentes de mis tres ángulos vale lo mismo que el producto de esas tangentes"

¡Y era cierto!

¿Cuánto medían sus ángulos?

Si lo descubres...NO lo divulgues...

El misterio del pentágono inscrito

De vez en cuando la geometría nos sorprende con situaciones pintorescas. Y los pentágonos son una caja de sorpresas. ¿Sabías que?:

En todo pentágono ABCDE, inscrito en una circunferencia, el producto de las distancias de un vértice A a las rectas BC y DE coincide con el producto de las distancias de ese vértice A a las rectas BE y CD.

¿Por qué?

Misterios matemáticos. Si no te lo crees compruébalo con GeoGebra