Ocultan misterios en apariencia simples pero también se empeñan a veces en hacer trivial lo complejo.
Este no es el caso de hoy. Os lo muestro
En una circunferencia de radio 4, dividimos su diámetro en 4 partes iguales mediante los puntos B y C.
Por el punto C trazamos una cuerda que forma con el diámetro un ángulo de 43º.
Formamos un triángulo cuyos vértices son los extremos de la cuerda y el punto B.
Y...¡sorpresa! ¿Cuánto suman... los cuadrados de los lados del triángulo?
Una hermosa sorpresa.
ResponderEliminarAl ver 43º y el aviso de no usar trigonometría, lo primero que pensé fue que el 43º tenía que ser irrelevante, así que probé con un ángulo de 90º y con los caso extremos de 180º y de 0º y 360º. Habiendo obtenido el mismo resultado en todos, pensé en lo siguiente:
Uniendo F y E con O obtenemos dos radios que son también medianas de los triángulos BCF y CBE. Invocando el Teorema de Stewart, obtenemos:
BC·(OF²+BO·OC)=BO·CF²+CO·BF²
BC·(OE²+BO·CO)=BO·CE²+CO·BE²
Sustituyendo los valores conocidos:
4(4²+4)=2CF²+2BF²
4(4²+4)=2CE²+2BE²
Por tanto:
40=CF²+BF²
40=CE²+BE²
Sumando: 80=BE²+BF²+CF²+CE²
Ahora utilizando un truco algebraico:
80=BE²+BF²+CF²+CE²=BE²+BF²+(CF+CE)²-2CF·CE=BE²+BF²+FE²-2CF·CE
Apelando a la potencia del punto C, CF·CE=AC·CD=6·2=12
Sustituyendo,
80=BF²+BE²+FE²-2·12
Y por tanto
BE²+BE²+FE²=104
El invariante se corresponde con 6²+2²+8², números que solo dependen del radio de la circunferencia(13r²/2) y de la división inicial de su diámetro.
Lo dicho, una preciosidad de problema. Un saludo.
Impresionante desarrollo. Felicidades JJ.
EliminarEs cierto: el problema es una joyita.
Un abrazo matemático y hasta el próximo