“Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero”. Voltaire
Mañana, en el programa de La Buena Tarde de la Radio del Principado de Asturias, entre 17:25 y, 17:50 aproximadamente intentaré demostrar que Voltaire llevaba razón. Lo puedes escuchar en podcast en cualquier momento.
Abordaremos el problema de los toros y vacas del rey Sol planteado por Homero en la Odisea (no sale en la película) y mejorado y complicado casi hasta el infinito por Arquímedes.
El 6 de julio de este año se
estrenaba en un cine londinense la película La Odisea de Christopher Nolan, una
superproducción, un tanto estridente, con un reparto excepcional: Matt Damon,
Anne Hathaway, Tom Holland, Charlize Theron… que narra las aventuras de Odiseo
(Ulises) en el viaje de retorno desde Troya hasta Ítaca.
El guion original es un poema
épico escrito por Homero hace más de 2800 años, La Odisea. Una de las obras
cumbre de la literatura griega. Poco sabemos de Homero, ni su lugar de
nacimiento, ni siquiera si es cierto que fuese ciego. Pero sus dos obras
clásicas, La Ilíada y La Odisea son dos obras maestras de la literatura
universal.
Decía Voltaire: “Había más
imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero”.
¿Era un exagerado el filósofo
francés o llevaba razón? Vamos a dirimirlo en la sección de hoy.
Homero, vivió en el siglo VIII
a. C. era mucho más que un gran poeta.
Era el gran educador de Grecia, la máxima autoridad literaria y el pilar
fundamental de su identidad cultural y religiosa, sus referencias estaban en
boca de poetas, sacerdotes, científicos, filósofos, … Sus poemas servían como
el libro de texto básico para la juventud griega. Mediante las descripciones de las hazañas de
Aquiles, Héctor o Ulises, los griegos aprendían los valores de la sociedad
helénica: la valentía, el honor, la virtud…
En el canto XII, Odiseo y sus
compañeros llegan a la isla del rey Sol y desoyendo los consejos de Circe
sacrifican y se comen alguna de las vacas sagradas de Helios. En este canto podemos
leer:
“llegarás más tarde a la isla
de Trinacria, donde pacen las muchas vacas y pingües ovejas del Sol. Siete son
las vacadas, otras tantas las hermosas greyes de ovejas, y cada una está
formada por cincuenta cabezas. Dicho ganado no se reproduce ni muere, y son sus
pastoras dos deidades, dos ninfas de hermosas trenzas: Faetusa y Lampetia; las
cuales concibió del Sol Hiperión la divina Neera. La veneranda madre, después
que las dio a luz y las hubo criado, llevólas á la isla de Trinacria, allá muy
lejos, para que guardaran las ovejas de su padre y las vacas de retorcidos
cuernos. Si a éstas las dejares indemnes, ocupándote tan sólo en preparar tu
regreso, aún llegaríais á Ítaca, después de pasar muchos trabajos; pero, si les
causares daño, desde ahora te anuncio la perdición de la nave y la de tus
amigos. Y aunque tú escapes, llegarás tarde y mal a la patria, después de
perder a todos los compañeros”
Hasta aquí las vacas sagradas de
Homero, pero Arquímedes, cinco siglos más tarde, va a retomar el relato y a
complicar los rebaños del rey Sol…
Ya hablamos hace casi un año del
famoso palimpsesto encontrado en 1906 en el convento del Santo Sepulcro de Estambul,
perdido y recuperado varias veces a lo largo del siglo XX, que contenía uno de
los mayores tesoros de la historia de las matemáticas: El Método de
Arquímedes. Volvemos hoy con Arquímedes para ver si le damos la razón a
Voltaire.
Basándose en el texto de la
Odisea sobre las vacas y ovejas del Sol, se le ocurrió a Arquímedes un fabuloso
problema que se conoce como “El Problema del ganado” o también como “El
Rebaño del Sol “. El problema permaneció sin resolver durante muchos siglos
ya que los números involucrados estaban fuera de los cálculos humanos.
El manuscrito original
correspondía a una carta dirigida a Eratóstenes de Cirene, escrita por
Arquímedes en forma de poema. El problema dice lo siguiente:
Amigo: Si has heredado la
sabiduría, calcula cuidadosamente a cuánto se elevaría la multitud de los
bueyes del Sol que, en otro tiempo, pacían en las llanuras de la isla Tinacria
distribuidos en rebaños.
El dios Sol tenía un rebaño
formado por un cierto número de toros blancos, negros, moteados y amarillos,
así como vacas de los mismos colores. De tal forma que:
a) El número de toros blancos
es la mitad y la tercera parte de los negros más los amarillos.
b) El número de toros negros es
igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los amarillos.
c) El número de toros moteados
es igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.
d) El número de vacas blancas
es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas
negras.
e) El número de vacas negras es igual a la
cuarta parte más la quinta aparte de la suma de los toros moteados más las
vacas moteadas.
f) El número de vacas moteadas
es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más
las vacas amarillas.
g) El número de vacas amarillas es igual a la
sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas
blancas.
¿Cómo estaba compuesto el
rebaño querido amigo?
El problema en sí es difícil de
resolver pues involucra un sistema indeterminado de ecuaciones diofánticas
(únicamente sirven soluciones naturales, no hay medias vacas), con siete
ecuaciones y ocho incógnitas.
La solución más pequeña, hay
infinitas, nos daría 50 389 082 reses en total.
Pero encima, para complicarlo
más, Arquímedes añade dos condiciones más:
h) La suma de los toros blancos
y negros es un número cuadrado.
i) La suma de los toros
moteados y amarillos es un número triangular.
Amigo: Si encuentras estas
cosas y, en una palabra, si concentrando tu ingenio, expresas todas las medidas
de estas multitudes, te glorificarán por haber alcanzado la victoria y se te
juzgará como consumado conocedor de esta ciencia.
Una primera solución del
problema fue conocida en 1880, cuando se descubrió un resultado al problema que
consistía en ocho números de al menos 206 544 cifras; en 1965 con la ayuda de
grandes computadores de la época, IBM 7040 e IBM 1620, se pudieron calcular las
cuatro primeras soluciones, de las infinitas posibles.
No entraremos en detalles de cómo
solucionar este problema, únicamente citar que corresponde a una ecuación diofántica
conocida como ecuación de Pell (x2 - 4729494 y2 = 1). Con este tipo de ecuaciones se han peleado a
lo largo de la historia matemáticos tan potentes como Fermat, Wallis, Euler y
Lagrange. La IA me ha dado como soluciones valores de x e y de 43 y 39 cifras.
La Solución mínima básica
(correspondiente a los apartados a), b) c), d) e), f), g) nos da un total de
50.389.082 cabezas de ganado. Si además añadimos las condiciones h) e i) El
número total de reses es gigantesco, exactamente un número de 206.545 cifras,
exactamente N=7,760271x10 206544
¿Cómo pudo calcular Arquímedes
un número tan desorbitado?
Quizá la primera parte es
relativamente sencilla, trabajando de forma “prealgebraica”, así se llega a un
rebaño mínimo de 50.389.082 reses. Este cálculo, aunque tedioso y muy engorroso,
sí era perfectamente realizable a mano en su época. Pero, al añadir las dos
condiciones extras la situación se complica de tal manera que no existe humano
capaz de resolverlo; vamos, que es todo un misterio difícil de resolver.
Quizás, y solo por este problema,
nos inclinamos a dar la razón a Voltaire y a admitir que había más imaginación
en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero.
Como muy bien
dijo G.H. Hardy en su Apología de un matemático, Arquímedes será
recordado cuando se olvide a Esquilo, porque las lenguas mueren y las ideas
matemáticas no.
Todos los martes en La Buena Tarde, Ecos de Historia de las Matemáticas. de 17:25 a 17:50.
