El cuadrado más grande

Investigar en clase de matemáticas. Menos memoria y más imaginación.

¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede meter dentro de un triángulo?

La pregunta es sencilla. Las respuestas no tanto. Un buen ejemplo para plantear en clase a los alumnos de cualquier nivel.
Todo parece indicar, ver la figura, que dos de sus vértices han de estar en uno de los lados y los otros dos cada uno en otro lado. Aunque no es bueno generalizar a partir de un solo caso. ¿Verdad?

Si se trata de un triángulo obtusángulo, uno de los vértices del cuadrado no está sobre un lado.

Incluso en un mismo triángulo hay tres candidatos a ser el cuadrado mayor. Los tres que se apoyan en cada uno de los lados, que en general tienen distinta área... Y sólo uno es el mayor, claro.

¿Por cuál nos decantamos? Ya tienes aquí un buen material para estrujarte la cabeza.

La historia no termina aquí, Si el triángulo es equilátero, está claro que los tres cuadrados máximos construidos sobre los tres lados son iguales. Pero, sorpresa: 

¡Hay un triángulo, no equilátero, en el que los tres cuadrados tiene la misma área!

Descubrirlo no es tarea fácil. De hecho lleva el nombre del matemático italiano, aún vivo, que lo descubrió.

¡Ánimo, GeoGebra y suerte!