Eureka. Diario de Gauss

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Todo número es suma de tres números triangulares

domingo, 12 de junio de 2016

El enigma de los lados del triángulo

Los triángulos no dejan de sorprendernos.
Ocultan misterios en apariencia simples pero también se empeñan a veces en hacer trivial lo complejo.

Este no es el caso de hoy. Os lo muestro

En una circunferencia de radio 4, dividimos su diámetro en 4 partes iguales mediante los puntos B y C.
Por el punto C trazamos una cuerda que forma con el diámetro un ángulo de 43º.
Formamos un triángulo cuyos vértices son los extremos de la cuerda y el punto B.
Y...¡sorpresa! ¿Cuánto suman... los cuadrados de los lados del triángulo?



No vale utilizar trigonometría. ¡Pura geometría euclídea!


2 comentarios:

  1. Una hermosa sorpresa.
    Al ver 43º y el aviso de no usar trigonometría, lo primero que pensé fue que el 43º tenía que ser irrelevante, así que probé con un ángulo de 90º y con los caso extremos de 180º y de 0º y 360º. Habiendo obtenido el mismo resultado en todos, pensé en lo siguiente:
    Uniendo F y E con O obtenemos dos radios que son también medianas de los triángulos BCF y CBE. Invocando el Teorema de Stewart, obtenemos:
    BC·(OF²+BO·OC)=BO·CF²+CO·BF²
    BC·(OE²+BO·CO)=BO·CE²+CO·BE²
    Sustituyendo los valores conocidos:
    4(4²+4)=2CF²+2BF²
    4(4²+4)=2CE²+2BE²
    Por tanto:
    40=CF²+BF²
    40=CE²+BE²
    Sumando: 80=BE²+BF²+CF²+CE²
    Ahora utilizando un truco algebraico:
    80=BE²+BF²+CF²+CE²=BE²+BF²+(CF+CE)²-2CF·CE=BE²+BF²+FE²-2CF·CE
    Apelando a la potencia del punto C, CF·CE=AC·CD=6·2=12
    Sustituyendo,
    80=BF²+BE²+FE²-2·12
    Y por tanto
    BE²+BE²+FE²=104
    El invariante se corresponde con 6²+2²+8², números que solo dependen del radio de la circunferencia(13r²/2) y de la división inicial de su diámetro.
    Lo dicho, una preciosidad de problema. Un saludo.

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    1. Impresionante desarrollo. Felicidades JJ.

      Es cierto: el problema es una joyita.

      Un abrazo matemático y hasta el próximo

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