Euler persiguió, incluso de forma obsesiva, demostrar todas
y cada una de las conjeturas de Fermat, incluido el Último Teorema. De hecho lo
demostró para n = 3
Incluso intentó ir más allá generalizando el reto
de Fermat.
Fermat había escrito en el famoso margen que no existían
tres números enteros x, y, z tales que el cubo de uno de ellos sea igual a la suma de los cubos de los otros dos. Y en general no existen tres enteros que lo cumplan para todo exponente n>2
Euler formuló en 1796 una conjetura más
general afirmando que:
“Ninguna
potencia n (n>2) de un número entero es igual a la suma de menos de n
potencias n-ésimas de números enteros”
Si n=3 tenemos el último Teorema de Fermat.
Si n=4 Euler afirma que no existen cuatro números enteros v,
x, y, z tales que
la potencia cuarta de uno de ellos sea igual a la suma de las potencias cuartas de los otros tres.
Si n=5 será imposible descomponer una potencia quinta de un
número entero en suma de cuatro o menos potencias quintas de números enteros…
Pero, aunque parezca increíble, ¡Euler estaba equivocado!
Hubo que esperar hasta 1966 para que L. J. Lander y T. R.
Parkin encontrasen un contra-ejemplo para n=5:
144^5 =27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5
Y a 1987, para que N. Elkies encontrase un contra-ejemplo
para n=4, nada elemental por cierto:
20615673^4 =2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4
Todavía no se han encontrado contra-ejemplos para n=6 y n=7.
¡Anímate a encontrarlos!
