El sorprendente
encuentro entre la Aritmética, el Álgebra y la Geometría en la mente de un
joven de 18 años.
¿Cuánto vale la suma de los cien primeros
números, 1+2+3+4+….100?
1786, Brunswick. A los nueve años Karl Friedrich Gauss
asiste a su primera clase de Aritmética. Su maestro, J. G. Büttner propone a su
centenar de pupilos un problema terrible (mantener ocupados a 100 alumnos no es
fácil): calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de
proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo
deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí
está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta.
¿Cómo lo hizo? Vio que la suma del primero más el
último, 1 + 100 = 101, la del segundo y el penúltimo, 2 + 99 también de 101, y
así sucesivamente. Hay 50 parejas, así que basta multiplicar 101 por 50, ¡y
“Ligget se!” 5050.
Sí, Gauss era un niño prodigio precoz y, por
fortuna, Martin Bartels, el ayudante de Büttner así lo reconoció y le prestó
libros avanzados de matemáticas.
Al pasar al Gymnasium Catharineum su fama se
extendió por todo Brunswick y llegó a oídos del Duque Karl Wilhelm Ferdinand,
Gauss deja impresionado al duque con su capacidad de cálculo, y este le
pagará sus estudios en el Colegium Carolinum en el que ingresa a los 15 años.
Allí iniciará algunas de sus investigaciones como la distribución de los
números primos y los fundamentos de la geometría.
En 1795 ingresará en la Universidad de Göttingen,
becado por el duque, donde le da clases el viejo profesor Kastner que tenía
entonces 76 años. Pero Gauss iba por su cuenta…
“Fue el día 29 de marzo de 1796,
durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor
participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana
del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la
mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e
inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación
numérica”.
Así
relataba Gauss, el príncipe de los matemáticos, en una carta dirigida a Gerling
en 1819, el momento en el que en su mente juvenil se producía uno de los
milagros de las matemáticas: la demostración de que el polígono de 17 lados se
puede construir con regla y compás. Cuando lo descubrió, en marzo de 1796,
Gauss tenía sólo 18 años.
Un
descubrimiento constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más
amplia que dará origen tres años más tarde a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que el estudiante Gauss va
madurando durante su estancia en la universidad de Gottingën y que le situarán
con poco más de 20 años en la cima de la matemática europea. Terminadas en 1799
tardaron dos años en publicarse.
El 30 de marzo de 1799 Gauss hará la primera
anotación en su diario de notas, un pequeño cuaderno de 19 páginas, que le
acompañará hasta 1814, el diario científico más importante de la historia de
las matemáticas, en el que irá anotando de forma críptica los resultados
matemáticos que le vienen a la cabeza, en total 144 anotaciones. Un cuaderno
que por desgracia para la ciencia no verá la luz hasta casi 50 años después de
su muerte. En la cabeza del joven genio, que aún dudaba entre dedicarse a las
matemáticas o estudiar las lenguas clásicas, se va a producir un sorprendente
encuentro entre las tres ramas clásicas de las matemáticas: la Aritmética, el
Álgebra y la Geometría.
¿Quién no se acuerda del famoso algoritmo de la
división: “el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto”?
El resto de la división casi siempre se desprecia… Pero en esta historia lo más
importante es el resto.
Las Disquisitiones
es la obra cumbre de la Aritmética Superior, y tiene sus cimientos
en la división de números enteros, en concreto en los restos de las divisiones.
En este libro Gauss introduce una idea revolucionaria: los números
congruentes.
Dos números son congruentes respecto de otro número,
al que llama módulo, si el resto de la división de ambos números entre el
módulo es el mismo. Es la aritmética modular, la aritmética del reloj.
En un reloj analógico las 14 horas son las 2. Los números 14 y 2 son
congruentes módulo 12.
Una idea simple, pero eficaz, que permitirá a Gauss
dar una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta
una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama
de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría.
En los 366 artículos, tantos como días del año, que
componen las Disquisitiones van apareciendo, iluminados por las nuevas
herramientas de Gauss, (congruencias, residuos, formas cuadráticas), los
resultados y demostraciones más codiciados por sus contemporáneos en teoría de
números: el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Wilson, la ley de
reciprocidad cuadrática…
Y a lo largo de las últimas secciones nos irá
proporcionando unas cuantas joyas de incalculable valor. Una de estas joyas le
hizo escribir el 16 de julio de 1796 en su diario una de sus pocas
manifestaciones de júbilo: ¡¡EUREKA:
Num = D +D + D !!
La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss
acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera;
hasta el gran Euler se había estrellado con él. Él iba a ser el primero en la
historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de
Fermat: Todo número entero positivo se
puede escribir como suma de tres números triangulares.
El joven Gauss no se resiste a la tentación de
terminar su libro con los artículos que contienen su primer resultado estrella:
la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en
apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría que con la
aritmética de números enteros.
Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un
resultado que enumera los polígonos regulares de menos de 300 lados que se
pueden construir con regla y compás: 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24…256,257,272
lados.
El joven genio ha tocado la gloria y lo sabe. Tenía
tan solo 21 años.
