Las dos circunferencias de la figura son iguales y tangentes en el punto T. Su radio mide raíz de 2.
Trazamos la recta tangente a la segunda circunferencia que pasa por A, y la recta tangente a esta circunferencia en el punto B. Ambas tangentes se cortan en el punto D.
Te aseguro que las medidas de los segmentos AD y BD son dos números enteros.
¿Serías capaz de demostrarlo?
Suerte.
Nota: No vale utilizar GeoGebra.
Saludos profesor.
ResponderEliminarEs muy facil probar eso:
Si llamamos E al centro de la circunferencia que pasa por T y B y llamamos C al punto de tangencia de AD con la cincunferencia que pasa por T y B se puede notar que los triangulos ABD y ACE son semejantes por criterio angulo-angulo (respectivamente el orden de los puntos correspondientes) entonces:
AD/AE=BD/CE de lo cual se puede deducir que: AD=3BD. (1)
de lo cual se puede decir que AD es entero si BD lo es. entonces veamos que BD es entero.
Aplicando Pitagoras en el triangulo ABD se tiene que:
AD²=AB²+BD² sustituyendo (1) y el valores correspondientes de AB se tiene que: BD=2 y que por consiguiente AD=6.
Espero que le guste la prueba.
Saludos.
Carlos Ferrer
crferrer@gmail.com
De otra forma: el triángulo ACE, en la notación de Carlos, es rectángulo en C, por lo que por Pitágoras AC = 4.
ResponderEliminarDe la semejanza de los triángulos entonces 3rq(2)/4 = AD/(4rq(2)) ===> AD = 6, CD = 6 - 4 = 2, y DB = 2.
Lo bueno si breve...
EliminarUn abrazo. Antonio