Eureka. Diario de Gauss

Eureka. Diario de Gauss
Todo número es suma de tres números triangulares

viernes, 2 de diciembre de 2016

Tangentes enteras

La geometría elemental, la de Euclides, nos depara a veces sorpresas agradables. Aquí tienes un buen ejemplo. Un regalo para despedir bien el año.

Las dos circunferencias de la figura son iguales y tangentes en el punto T. Su radio mide raíz de 2.
Trazamos la recta tangente a la segunda circunferencia que pasa por A, y la recta tangente a esta circunferencia en el punto B. Ambas tangentes se cortan en el punto D.


Te aseguro que las medidas de los segmentos AD y BD son dos números enteros.
¿Serías capaz de demostrarlo?
Suerte.

Nota: No vale utilizar GeoGebra.


3 comentarios:

  1. Saludos profesor.
    Es muy facil probar eso:
    Si llamamos E al centro de la circunferencia que pasa por T y B y llamamos C al punto de tangencia de AD con la cincunferencia que pasa por T y B se puede notar que los triangulos ABD y ACE son semejantes por criterio angulo-angulo (respectivamente el orden de los puntos correspondientes) entonces:
    AD/AE=BD/CE de lo cual se puede deducir que: AD=3BD. (1)
    de lo cual se puede decir que AD es entero si BD lo es. entonces veamos que BD es entero.
    Aplicando Pitagoras en el triangulo ABD se tiene que:
    AD²=AB²+BD² sustituyendo (1) y el valores correspondientes de AB se tiene que: BD=2 y que por consiguiente AD=6.
    Espero que le guste la prueba.
    Saludos.
    Carlos Ferrer
    crferrer@gmail.com

    ResponderEliminar
  2. De otra forma: el triángulo ACE, en la notación de Carlos, es rectángulo en C, por lo que por Pitágoras AC = 4.

    De la semejanza de los triángulos entonces 3rq(2)/4 = AD/(4rq(2)) ===> AD = 6, CD = 6 - 4 = 2, y DB = 2.

    ResponderEliminar