Eureka. Diario de Gauss

Eureka. Diario de Gauss
Todo número es suma de tres números triangulares

lunes, 26 de noviembre de 2012

El fiasco de Euler.


Euler persiguió, incluso de forma obsesiva, demostrar todas y cada una de las conjeturas de Fermat, incluido el Último Teorema. De hecho lo demostró para n = 3

Incluso intentó ir más allá generalizando el reto de Fermat.

Fermat había escrito en el famoso margen que no existían tres números enteros x, y, z tales que el cubo de uno de ellos sea igual a la suma de los cubos de los otros dos. Y en general no existen tres enteros que lo cumplan para todo exponente n>2   


Euler formuló en 1796 una conjetura más general afirmando que:

“Ninguna potencia n (n>2) de un número entero es igual a la suma de menos de n potencias n-ésimas de números enteros”

Si n=3 tenemos el último Teorema de Fermat.
Si n=4 Euler afirma que no existen cuatro números enteros v, x, y, z tales que
la potencia cuarta de uno de ellos sea igual a la suma de las potencias cuartas de los otros tres.

Si n=5 será imposible descomponer una potencia quinta de un número entero en suma de cuatro o menos potencias quintas de números enteros…

Pero, aunque parezca increíble, ¡Euler estaba equivocado!

Hubo que esperar hasta 1966 para que L. J. Lander y T. R. Parkin encontrasen un contra-ejemplo para n=5:

144^5 =27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5

Y a 1987, para que N. Elkies encontrase un contra-ejemplo para n=4, nada elemental por cierto:

20615673^4 =2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4

Todavía no se han encontrado contra-ejemplos para n=6 y n=7.

¡Anímate a encontrarlos!

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